एक रेखा वृत्त (x-3)^{2}+y^{2}=9 और परवलय y^{2 | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^{2}=4x$ पर स्पर्श बिंदु को $A(t^{2}, 2t)$ मानिए।बिंदु $A(t^{2}, 2t)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + t^{2}$ है,जिसे $x - ty +

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$9$

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(A) परवलय $y^{2}=4x$ पर स्पर्श बिंदु को $A(t^{2}, 2t)$ मानिए।बिंदु $A(t^{2}, 2t)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + t^{2}$ है,जिसे $x - ty + t^{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।चूंकि यह रेखा वृत्त $(x-3)^{2} + y^{2} = 9$ की भी स्पर्श रेखा है,जिसका केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $r=3$ है,केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।$\left| \frac{3 - t(0) + t^{2}}{\sqrt{1^{2} + (-t)^{2}}} ight| = 3$$\left| 3 + t^{2} ight| = 3\sqrt{1 + t^{2}}$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3 + t^{2})^{2} = 9(1 + t^{2})$$9 + t^{4} + 6t^{2} = 9 + 9t^{2}$$t^{4} - 3t^{2} = 0$$t^{2}(t^{2} - 3) = 0$चूंकि बिंदु प्रथम चतुर्थांश में हैं,$t > 0$,इसलिए $t^{2} = 3$,जिससे $t = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।अतः,परवलय पर स्पर्श बिंदु $A(t^{2}, 2t) = (3, 2\sqrt{3})$ है। इसलिए,$a=3$ और $b=2\sqrt{3}$।स्पर्श रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ है।वृत्त पर स्पर्श बिंदु $B(c, d)$ केंद्र $(3, 0)$ से स्पर्श रेखा $x - \sqrt{3}y + 3 = 0$ पर लंब का पाद है।लंब के पाद $(c, d)$ के लिए सूत्र का उपयोग करने पर:$\frac{c-3}{1} = \frac{d-0}{-\sqrt{3}} = -\frac{1(3) - \sqrt{3}(0) + 3}{1^{2} + (-\sqrt{3})^{2}} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$$c - 3 = -\frac{3}{2} \Rightarrow c = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$$d = -\sqrt{3} 	imes (-\frac{3}{2}) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$हमें $2(a+c) = 2(3 + \frac{3}{2}) = 2(\frac{9}{2}) = 9$ ज्ञात करना है।

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यदि रेखा $4x - 3y + 7 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ को $(\alpha, \beta)$ पर स्पर्श करती है,तो $\alpha + 2\beta =$

बिंदु $(1,7)$ से वृत्त $x^2+y^2=25$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण है

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